[161601]线性代数的妙用：怎样在Windows画图软件中实现28度旋转？
2024-02-01 17:39:29 来源：倾延资
不过，这玩意儿关于咱们来说好像彻底没用。估量99%的人在运用画图软件的时分就从来没用过这个功用吧。假如真是这样，那么今日的问题恐怕将会是咱们最近一段时刻见过的最风趣的问题了：想办法使用Windows画图中的歪曲功用（近似地）完结28度旋转。答案：如下图，首要水平歪曲-14度，然后笔直歪曲25度，最终再水平歪曲-14度即可。这样的话，画板中被选中的内容将会被逆时针旋转28度。
为什么？这是因为，歪曲的实质其实便是在原图上进行一个线性变换。水平歪曲实际上适当所以对图画各行进行平移，平移量与纵坐标的方位成正比。而这又能够看作是对每个点履行了下图所示的矩阵乘法操作：
类似地，笔直歪曲则适当于对每个点履行了这么一个矩阵乘法的操作：
别的，因为
因此
而最终一行便是咱们十分了解的旋转矩阵！也便是说，接连履行上式中的三次歪曲，就能够完结旋转θ度了。其间，第一次歪曲和第三次歪曲都是水平歪曲-θ/2度，当θ=28°时，咱们应该填写的度数便是-14。费事的便是第2次歪曲：它看上去并不契合笔直歪曲矩阵的规范方式。笔直歪曲矩阵中，左下角那一项应该是tan(θ)，而并非sin(θ)。不过，咱们彻底能够用正切值去模仿sin(θ)呀！使用计算机能够解得，当θ=28°时，sin(28°)约为0.469，离它最近的正切值是tan(25°)≈0.466。因此，咱们在第二步的时分填入了笔直歪曲25度。值得一提的是，实际上咱们现已得到了一种十分高效而且十分简单编写的图画旋转算法：只需要接连调用三次歪曲操作即可。而每次歪曲操作实质上都是对各行或许各列的像素进行平移，因此整个算法彻底不需要任何额定的内存空间！依据Wikipedia的描绘，这种办法是由AlanPaeth在1986年提出的。因为tan(25°)并不准确地等于sin(28°)，因此这儿完结的28度旋转也并不是肯定准确的。不过，画图软件自身还供给了水平缩放和笔直缩放的功用，把它们也加进来的话，线性变换的复合将会变得愈加灵敏，或许咱们就能规划出一些更杂乱但却更准确的旋转计划了。这些问题就留给感兴趣的读者持续探求吧。
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